Seminario Libre de Geometría Algebraica

Propuestas de Ejercicios de Gavillas

2010-03-25T11:17:00.000-07:00

Pues no me he presentado mucho en el seminario, pero, como le proponia a Ruben, me puse a investigar que ejercicios seria bueno hacer para estudiar un poco de gavillas. Por ahora solo tengo cinco problemas propuestos:

http://www.matem.unam.mx/~rod/gavillas.pdf

Propongo que nos repartamos esos problemas y los expongamos, en paralelo a la exposición de Carlos.

Porque a veces es suficiente considerar los puntos cerrados...

2009-11-18T15:33:00.000-08:00

Sea $k$ un campo algebraicamente cerrado. Existe un funtor pleno y fiel $t:Var(k)\to Sch(k)$ de la categoria de variedades sobre $k$ a esquemas sobre $k$. Para cualquier variedad $V$, su espacio topológico es homeomorfo al conjunto de puntos cerrados del espacio de $t(V)$ y su gavilla de funciones regulares se obtiene restringiendo la gavilla estructural de $t(V)$ por medio de este homeomorfismo. Además, la imagen de este funtor será el conjunto de esquemas enteros casi-proyectivos sobre $k$.

Entonces en algunos casos es lo mismo considerar solo los puntos cerrados.

Nullstellensatz topologico

2009-11-11T07:08:00.000-08:00

El Nullstellensatz dice lo siguiente:

Sea $k$ es un campo y $A$ un anillo finitamente generado sobre $k$. Entonces el nilradical de $A$ y el radical de Jacobson coinciden.

Sucede que este resultado tiene una interpretación en la topología de Zariski, que, en palabras de Luis, se puede resumir como:

"Si tenemos $f\in A$, tal que $f(m)=0$ para todo $m$ ideal maximal, entonces $f$ es cero en todo $Spec(A)$."

Por supuesto estamos definiendo $f(p)$ como la clase de equivalencia de $f$ en el campo cociente $A_p/{pA_p}$, pero esta interpretación se parece mucho a un teorema de topología general:

SI $D$ es denso en un espacio topológico Hausdorff $X$ y $f,g$ son funciones continuas que coinciden en $D$, entonces $f=g$.

Por supuesto nuestra interpretación es puramente simbólica ya que no estamos usando funciones en realidad, y lo que es más, los valores de nuestras "funciones" van cambiando de campo. Pero nadie podra negar que es una interpretación topológica muy bonita. En general, creo que se podria decir de una manera topológica e informal:

Si $A$ es un anillo finitamente generado sobre un campo, entonces el conjunto de ideales maximales representa por completo a todo $Spec A$.

Finalmente, nos damos cuenta que en este tipo de anillos, es "suficiente" considerar los puntos "clásicos", es decir, los cerrados. Me pregunto hasta donde será posible desarrollar la teoría de esquemas para este tipo de anillos, considerando solo los ideales maximales. Seguramente conforme avancemos en el seminario, sabremos la respuesta a esta pregunta.

Otra vez el Nullstellensatz

2009-10-21T08:36:00.000-07:00

Mis notas de esta primera parte de la sección 1.8 (que incluyen detalles que resolvimos entre todos, por supuesto) pueden descargarse desde aquí.

Éstas irán completándose en sesiones posteriores.

Una vez más, los comentarios, sugerencias y demás inquietudes son bienvenidas.

Rubén.

Solucion al problema del espectro de $Z_n[x]$

2009-10-11T08:40:00.000-07:00

En el post anterior, preguntamos cual era el espectro de $Z_n[x]$ cuando $n$ no era primo, en particular, cuantas componentes irreducibles tiene. Recordemos que este seria homeomorfo al subespacio cerrado $V(n)$ de $Z[x]$ y que si $p$ es primo, entonces $Z_p[x]$ tiene un ideal primo minimal así que tiene un punto generico y por lo tanto una componente irreducible.

Si $n=p_1^{a_1}p_2^{a_2}...p_m^{a_m}$ es la descomposición de $n$ en factores primos, notemos que

$(n)=\cap_{i=1}^{m}{(p_i)}$,

por lo que análogamente en $Z[x]$,

$V(n)=\cup_{i=1}^{m}{V(p_i)}$,

donde además $V(p_i)\cap V(p_j)=\empty$ si $i\neq j$. Por lo tanto, esto demuestra que el espectro de $Z_n[x]$ es la uni\'on ajena de los espectros de $Z_p[x]$, cuando $p$ recorre los primos de la descomposición de $n$. Esto demuestra que entonces, por ejemplo, para $n=6$, hay dos componentes irreducibles.

Esto nos lleva a preguntarnos lo siguiente:

Si $p,q$ son primos distintos, serán los espectros de $Z_p[x]$ y $Z_q[x]$ homeomorfos? En particular, serán homeomorfos al espectro de $Z$?

El Espectro de $Z_n[x]$

2009-10-02T22:21:00.000-07:00

En la sesion de espacios irreducibles se planteo el siguiente problema: Encontrar el espectro de un anillo que no tenga una sola componente irreducible. Una respuesta trivial es considerar el espectro de $Z_n$ para $n/in N$, el cual es un espacio discreto de $m$ puntos, donde $m$ es el número de primos distintos que dividen a $n$. Entonces Luis pregunto si habia un ejemplo no tan trivial... y pregunto si $Z_n[x]$ tenia dos componentes irreducibles... entonces habia que encontrar ese espacio. Resulta que el morfismo natural de $Z[x]$ a $Z_n[x]$ junto con otro resultado implica que el espacio buscado es homeomorfo al cerrado $V(n)$, de $Z[x]$. Segun Eisenbud, los ideales primos de $Z[x]$ son de tres tipos:

(a) El ideal $(0)$ cuya cerradura es todo el espacio,
(b) Para cada primo $p$, el ideal $(p)$,
(c) Para cada $f$ polinomio monico irreducible con todos sus coeficientes primos relativos, el ideal $(f)$,
(d) Para cada par $p$ primo y $f$ un polinomio monico irreducible modulo $p$, el ideal $(f)$ es maximal,

Naturalmente, de los ideales de tipos a,b,c contenidos en $V(n)$, solo pueden ser del tipo $(p)$ con $p$ un primo que divide a $n$. Tambien es claro que si $p$ divide a $n$, entonces $(f,p)$ es un ideal de estos... pero no sabemos si son todos de tipo d... y pues esa es la pregunta... Todo esto para poder encontrar ese espacio, aunque de todas formas creemos que tiene una sola componente irreducible pero al menos nos gustaria saber porque...

Fin del comunicado

Update: Efectivamente queremos en caso $n$ compuesto ya que si $n$ es primo, el espacio tieneun punto generico.

Arrancamos...

2009-08-25T16:44:00.001-07:00

El martes 1 de septiembre se llevará a cabo la primera sesión.

Los expositores serán Francisco Barrios y Luis Díaz.

Las notas de Francisco pueden descargarse desde aquí.