Sea $k$ es un campo y $A$ un anillo finitamente generado sobre $k$. Entonces el nilradical de $A$ y el radical de Jacobson coinciden.
Sucede que este resultado tiene una interpretación en la topología de Zariski, que, en palabras de Luis, se puede resumir como:
"Si tenemos $f\in A$, tal que $f(m)=0$ para todo $m$ ideal maximal, entonces $f$ es cero en todo $Spec(A)$."
Por supuesto estamos definiendo $f(p)$ como la clase de equivalencia de $f$ en el campo cociente $A_p/{pA_p}$, pero esta interpretación se parece mucho a un teorema de topología general:
SI $D$ es denso en un espacio topológico Hausdorff $X$ y $f,g$ son funciones continuas que coinciden en $D$, entonces $f=g$.
Por supuesto nuestra interpretación es puramente simbólica ya que no estamos usando funciones en realidad, y lo que es más, los valores de nuestras "funciones" van cambiando de campo. Pero nadie podra negar que es una interpretación topológica muy bonita. En general, creo que se podria decir de una manera topológica e informal:
Si $A$ es un anillo finitamente generado sobre un campo, entonces el conjunto de ideales maximales representa por completo a todo $Spec A$.
Finalmente, nos damos cuenta que en este tipo de anillos, es "suficiente" considerar los puntos "clásicos", es decir, los cerrados. Me pregunto hasta donde será posible desarrollar la teoría de esquemas para este tipo de anillos, considerando solo los ideales maximales. Seguramente conforme avancemos en el seminario, sabremos la respuesta a esta pregunta.
