En la sesion de espacios irreducibles se planteo el siguiente problema: Encontrar el espectro de un anillo que no tenga una sola componente irreducible. Una respuesta trivial es considerar el espectro de $Z_n$ para $n/in N$, el cual es un espacio discreto de $m$ puntos, donde $m$ es el número de primos distintos que dividen a $n$. Entonces Luis pregunto si habia un ejemplo no tan trivial... y pregunto si $Z_n[x]$ tenia dos componentes irreducibles... entonces habia que encontrar ese espacio. Resulta que el morfismo natural de $Z[x]$ a $Z_n[x]$ junto con otro resultado implica que el espacio buscado es homeomorfo al cerrado $V(n)$, de $Z[x]$. Segun Eisenbud, los ideales primos de $Z[x]$ son de tres tipos:
(a) El ideal $(0)$ cuya cerradura es todo el espacio,
(b) Para cada primo $p$, el ideal $(p)$,
(c) Para cada $f$ polinomio monico irreducible con todos sus coeficientes primos relativos, el ideal $(f)$,
(d) Para cada par $p$ primo y $f$ un polinomio monico irreducible modulo $p$, el ideal $(f)$ es maximal,
Naturalmente, de los ideales de tipos a,b,c contenidos en $V(n)$, solo pueden ser del tipo $(p)$ con $p$ un primo que divide a $n$. Tambien es claro que si $p$ divide a $n$, entonces $(f,p)$ es un ideal de estos... pero no sabemos si son todos de tipo d... y pues esa es la pregunta... Todo esto para poder encontrar ese espacio, aunque de todas formas creemos que tiene una sola componente irreducible pero al menos nos gustaria saber porque...
Fin del comunicado
Update: Efectivamente queremos en caso $n$ compuesto ya que si $n$ es primo, el espacio tieneun punto generico.
1. Encontrar un esquema afin no irreducible.
ResponderEliminarCreo que la respuesta trivial es $Spec(K^n)$ con $K$ un campo. No sé que signifique la notacion $Z_n$, pero si supongo que $Z$ son los enteros, entonces:
a) $Z_n$ puede ser la localizacion de $Z$ en el ideal (primo) $(n)$; en este caso $Spec Z_n={(0),(n)}.
b) $Z_n$ puede ser $Z/(n)$; en este caso $Spec Z_n={(p)|p es un primo que aparece en la descomposicion primaria de n}
En todo caso, no obtienes un espacio discreto de $n$ puntos (a menos que no haya entendido que significa $Z_n$, por favor expliquen); dicho espacio es precisamente el primer ejemplo que di.
2. Si $Z_n=Z/(n)$, entonces $Spec Z_n[x]$ es irreducible cuando $n$ es primo, puesto que el anillo es un dominio entero y por ende tiene un unico ideal minimal. Yo creo que si $n$ no es primo, entonces este espectro no es irreducible.
Saludos
Perdon, no quise decir de $n$ puntos... si tienes razon, es b), o sea es el espacio discreto de $m$ puntos donde $m$ es el numero de primos distintos que dividen a $n$... o sea lo que dijiste... Pero este espacio es discreto y entonces no le gusto a Luis, por eso empezamos a pensar en $Z_n[X]$. Justamente $n$ primo no nos interesa por lo que dices, habria un punto generico. Por lo tanto, lo que nos interesa es el caso $n$ compuesto, ese es el que nos interesa.
ResponderEliminar