En el post anterior, preguntamos cual era el espectro de $Z_n[x]$ cuando $n$ no era primo, en particular, cuantas componentes irreducibles tiene. Recordemos que este seria homeomorfo al subespacio cerrado $V(n)$ de $Z[x]$ y que si $p$ es primo, entonces $Z_p[x]$ tiene un ideal primo minimal así que tiene un punto generico y por lo tanto una componente irreducible.
Si $n=p_1^{a_1}p_2^{a_2}...p_m^{a_m}$ es la descomposición de $n$ en factores primos, notemos que
$(n)=\cap_{i=1}^{m}{(p_i)}$,
por lo que análogamente en $Z[x]$,
$V(n)=\cup_{i=1}^{m}{V(p_i)}$,
donde además $V(p_i)\cap V(p_j)=\empty$ si $i\neq j$. Por lo tanto, esto demuestra que el espectro de $Z_n[x]$ es la uni\'on ajena de los espectros de $Z_p[x]$, cuando $p$ recorre los primos de la descomposición de $n$. Esto demuestra que entonces, por ejemplo, para $n=6$, hay dos componentes irreducibles.
Esto nos lleva a preguntarnos lo siguiente:
Si $p,q$ son primos distintos, serán los espectros de $Z_p[x]$ y $Z_q[x]$ homeomorfos? En particular, serán homeomorfos al espectro de $Z$?
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