Sea $k$ es un campo y $A$ un anillo finitamente generado sobre $k$. Entonces el nilradical de $A$ y el radical de Jacobson coinciden.
Sucede que este resultado tiene una interpretación en la topología de Zariski, que, en palabras de Luis, se puede resumir como:
"Si tenemos $f\in A$, tal que $f(m)=0$ para todo $m$ ideal maximal, entonces $f$ es cero en todo $Spec(A)$."
Por supuesto estamos definiendo $f(p)$ como la clase de equivalencia de $f$ en el campo cociente $A_p/{pA_p}$, pero esta interpretación se parece mucho a un teorema de topología general:
SI $D$ es denso en un espacio topológico Hausdorff $X$ y $f,g$ son funciones continuas que coinciden en $D$, entonces $f=g$.
Por supuesto nuestra interpretación es puramente simbólica ya que no estamos usando funciones en realidad, y lo que es más, los valores de nuestras "funciones" van cambiando de campo. Pero nadie podra negar que es una interpretación topológica muy bonita. En general, creo que se podria decir de una manera topológica e informal:
Si $A$ es un anillo finitamente generado sobre un campo, entonces el conjunto de ideales maximales representa por completo a todo $Spec A$.
Finalmente, nos damos cuenta que en este tipo de anillos, es "suficiente" considerar los puntos "clásicos", es decir, los cerrados. Me pregunto hasta donde será posible desarrollar la teoría de esquemas para este tipo de anillos, considerando solo los ideales maximales. Seguramente conforme avancemos en el seminario, sabremos la respuesta a esta pregunta.
1. Duda: "Anillo fg sobre un campo $k$" es lo mismo que decir "$k$-algebra fg"?
ResponderEliminar2. Consideren $A=k[t]/(t^2)$ y $f=t\in A$.
a) Es cierto que $f(m)=0$ para todo ideal maximal de A?
b) Es cierto que, a pesar de que se cumple a), $f\neq0$? Por qué? (Eisenbud-Harris)
c) No falta la hipotesis de que $A$ sea reducido? (de lo contrario, su nilradical puede ser no cero)
3. Su interpretacion no es simbolica, pues de hecho proximamente demostraran (espero) que el anillo de funciones regulares de un esquema afin $Spec (A)$ es el mismo $A$; luego, los elementos del anillo son verdaderas "funciones" definidas sobre el esquema. Lo que estan haciendo es decir: si el germen de una funcion racional $f$ es nulo para todo punto cerrado en un esquema afin (repito, quizas deban añadir: reducido) noetheriano, entonces $f=0$.
4. Cual es el significado de tu frase topologica e informal? (...conjunto de ideales maximales representa por completo a todo $Spec A$...) Nuevamente, creo que debes añadir la hipotesis "reducido". Yo diria que trabajar con $Spec (A)$, donde $A$ es una $k$-algebra reducida finitamente generada sobre $k$ alg cerrado (i.e. "esquemas-variedades") no es DE NINGUNA MANERA lo mismo que trabajar con $MaxSpec (A)$, i.e. los puntos cerrados del esquema o las "variedades clasicas".
Ojala ya pronto entren en gavillas para que se den cuenta de lo que hablo.
Saludos a todo el equipo.
Garay
Respondiendo las preguntas de Kriega:
ResponderEliminar1) Hay dos formas de verlo, no? Podrias pensar, como dices, que $R$ es una $k$-algebra finitamente generada sobre el campo $k$. Tambien podrias pensar que $R$ es un anillo que tiene al campo $k$ como subanillo y que $R$ es el m\'inimo subanillo de $R$ que contiene a $k$ y a una cantidad finita de elementos.
2) Tal vez esto resulto por el hecho de como lo dije. Dije "$f$ es cero en todo $Spec(A)$" más no "$f$ es el neutro de $A$. Efectivamente tu ejemplo es una "función" que en todos sus valores es $0$ pero no es igual a $0$. Y yo creo que si pides que el anillo $A$ sea libre de nilpotentes, no tenemos ese problema. Lo que quise decir fue "$f(p)=0$ para todo $p\in Spec(A)$.
3)No son funciones!!! Lo que se esta haciendo, formalmente, es lo siguiente
Consideramos $A$ un anillo conmutativo con unidad, para cada $p\in Spec(A)$, sea $k(p)=A_p/pA_p$. Definimos una función $H:A\to\prod{k(p):p\in Spec(A)}$ (de $A$ al producto de los campos) definiendo $H(a)(p)$ como la clase de $a$ en $k(p)$.
Piensa en el ejemplo que pusiste en el inciso (2). En este caso, si $f=t$ y $g=0$, entonces $H(f)=H(g)=0$, donde $0$ denota el elemento del producto de los campos tal que en cada entrada escogemos el cero de ese campo. Entonces realmente $f$ no es una "función", si no que, bajo $H$, va a dar a una función (el producto $\prod{k(p):p\in Spec(A)}$ se puede ver como el conjunto de funciones de $Spec(A)$ a la uni\'on de los campos $k(p)$). Y la función asociada a $g$, $H(g)$ es la misma a la asociada a $f$, $H(f)$.
Tu observación implica que $H$ es inyectiva cuando $A$ es reducido, no?
4) Lo de reducido ya dijimos que no se necesita. Y como dije, es algo informal e intuitivo, que además refleja mi intuición y forma de ver las cosas muy particular. Y no se si sea lo mismo en general pero al menos tenemos el siguiente resultado
Teorema: Sea $A=k[x_1,\ldots,x_n]$ un anillo de polinomios sobre $k$ algebraicamente cerrado. Recordemos que $k^n$ se le puedee asignar la topologia "tradicional" de Zariski Z_1, tomando como cerrados a los ceros de polinomios. Notemos también que los ideales maximales de $A$ estan asociados a $n$-adas de elementos de $k$. Esto nos produce una inclusion $i:(k^n,Z_1)\to (Spec A, Z_2)$, donde $Z_2$ es la topología de Zariski de $Spec A$. Entonces $i$ es un encaje denso (es decir, podemos ver el espacio afin tradicional como un subespacio) y además la función asociada a cerrados $i*$ que a cada cerrado $F$ lo manda a $cl_{Z_2}(F)$ es biyectiva.
Este resultado implica que hay una correspondencia uno a uno de los cerrados del Espectro a los cerrados del Espectro Maximal.
Además, segun recuerdo, hay un teorema que vi en el Hartshorne en el que demuestra que la categoria de Variedades Afines tradicionales es isomorfa a una subcategoria de la categoria de Esquemas. No tengo el enunciado ahorita porque mi libro esta en el cuarto de Valente ¬¬U pero cuando se lo pida, vere si es como yo creo: la prueba de este resultado es mas o menos tomando los puntos cerrados (que son los ideales maximales).